二阶微商 2016年上海事业单位考试公共基础知识：CT-XU算法及其延伸
2023-08-17 15:00:56 來源: 微商品牌网
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: CT_XU
由于工作繁忙，AI的发展还在继续，我们先过一波统计力学的内容，辅助理解更多关于相位和自由能的概念。
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NWPU-xct：KNN 算法及其扩展 1 同意 1 条评论文章
1. 相变的分类
自然界中常见的相变有两种类型：一阶相变和二阶相变。
计划：
1.一级相变
简述：既有相变潜热又有体积变化
详细解释：在相变点，两相的化学势相等，但化学势的一阶偏微分商不相等
数学上表示为：
特点：在相变点允许两相共存，可以存在亚稳态。
例如：气-液相变（临界点除外）、固-固相变等。
2.二次相变（连续相变）
简述：既没有相变潜热，也没有体积变化
详细说明：在相变点，两相的化学势等于化学式的一阶偏导商，但化学势的二阶偏导商不相等。 *（更精确的解法：二阶偏微商要么是不连续的（无外磁场时的超导-正常相变），要么是发散的（无穷大），统称为二阶相变）
数学上表示为：
特点：在相变点，化学势及其一阶偏导数连续，但二阶偏导数不连续。
由于气液相变的临界点是二级相变，所以通常将二级相变的相变点称为临界点。
尽管二阶相变的宏观性质没有改变，但对称性突然改变，称为对称性破缺。
3. n级相变
在相变点，化学势及其偏微分商在(n-1)级之前是连续的，但在n级上是不连续的。
已知的三次相变模型是理想玻色气体的玻色-爱因斯坦凝聚。
2. 埃伦费斯特方程
适用于二阶相变化学势的二阶偏导数不连续但有界的情况。
回顾一下克拉佩龙方程：
平衡曲线的斜率与相变潜热的关系，考察PT相图中的两相边界：
当其T和P沿曲线变为T+dT、P+dP时，化学势仍相等，通过泰勒展开可得：
使用化学势的基本微分方程：
得到方程：
制作
表示1mol物质在维持两相平衡的温度和压力下发生相变所吸收的热量。
（顺序不一定）
最终得到克拉佩龙方程如下：
克拉佩龙方程的修改：
克拉佩龙方程只适用于一阶相变，且熵变不为0，体积变化不为0。为了解决这个问题，将L'法则应用到它身上，得到偏导数T 同时：
如果我们同时计算p的偏导数，我们可以得到：
上述两个方程称为方程。
为了保持一致：
3.朗道二阶相变理论
1937年，朗道建立了二阶相变的现象学理论。 该理论包含两个重要概念：序参数和对称性破缺。 朗道提出了临界点附近自由能的展开形式，并应用自由能最小的条件得到阶次参数的解，然后计算各临界指数。
重要物理：有序参数和对称性破缺
(1)对称性破缺
对称性是指某些物理量在某些运算下的不变性，这些运算可能形成一个闭集，称为对称群。 通常物理系统是用哈密顿量来描述的，因此，系统的对称性与系统哈密顿量在一定变换下的不变性密切相关。
例如，液体系统的哈密顿量在 E(3) 群变换下是不变的。 取G表示系统哈密顿量H的对称群，g为群中的元素。 对称性要求为：
在某个足够高的温度下，当系统达到所有可能的微观状态的概率大致相等时，H的对称性变成自由能F的对称性。
当宏观条件发生变化时，一个或多个对称元素消失，这种现象称为对称性破缺。 当对称性破缺发生时，系统处于不再具有描述系统的哈密顿量的所有对称性的状态。
相变是具有大量粒子的系统的行为。 多粒子相互作用或许多粒子之间的相关性在相变中起着重要作用。 当温度降低或压力升高时，不同类型的相互作用通过对称性破缺导致不同的有序相。 粒子之间的相互作用不再是弱修正，而是决定不同的有序相。
特别是在二阶相变中，系统中对称性破缺后的状态具有一个对称群，该对称群是原始高对称群的子群。
有些系统具有简并基态。 此时，实际的基态将只是这些可能的基态之一。 处于该基态的系统所发生的物理现象将不会显示或仅部分显示物理定律所要求的原始对称性。 因此，对称性并不是被外界因素破坏，而是发生了一种自发破缺。 事实上，物理定律的对称性并没有被打破，只是在特殊情况下，还没有完全展现出来。
因此，对称破缺可以分为两种：一种是自发破缺，系统的哈密顿量保持不变；另一种是自发破缺，系统的哈密顿量保持不变。 吨体积。
朗道理论非常强调对称性破缺。 当对称性被破坏时，就会出现一定的顺序。 应该指出的是，不同对称性的相位之间的转变不是连续的。 也就是说，对于一种对称性，要么存在，要么不存在，并且这两种状态只能处于其中一种状态。
当然，也存在具有恒定对称性的相变，例如气液相变。 这里，可以使用更广泛的描述：遍历破坏。 （很有趣，稍后学习~）
(2)订单参数
我们应该对系统的相变进行定量描述。 根据对称性破缺的精神，相变的特征是当系统的宏观变量发生变化时，某些对称性因子的损失或增益。 当系统从高对称相转变为低对称相时，系统的某个物理量，称为序参数，将从高对称相中的零值变为低对称相中的非零值。低对称性相。
用有序参数来描述系统的对称性，对称性高的相可以视为无序相，对称性低的相可以视为有序相。 根据相变理论，低于相变温度Tc的有序参数可以用来描述有序相。 作为宏观热力学量，序参量应该是一些微观变量的系综平均值。 每个微观变量都是网格点附近空间坐标的函数。 因此，时间变化和空间分布对于这些变量的平均同样有意义。 在Tc以上的无序相中青鸾传媒推广，微观变量通常快速且随机地移动，因此每个网格点的时间平均值为0，即与位置无关。 相反，低于 Tc，这些变量是相关的，有序相位将由空间分布决定。
应该注意的是，只有当阶次参数变为非零时，系统的对称性才会改变。 相反，阶次参数的任何非零值，无论多小，都会导致对称性降低。 因此，系统的对称性变化是灾难性的，但序参量的变化有两种形式：
一阶相变具有不连续的跳跃，二阶相变在临界点处连续变化。
在一级相变中，高对称性群可能与低对称性群无关，或者群与子群之间可能存在关系。 在二阶相变中，相变前后两相的对称群是相关的，低对称群一定是高对称相对对称群的子群。
如果通过外力控制将一阶相变转变为二阶相变，所经过的两次相变之间的阈值称为三重临界点。
任意阶参数作为物理量，可以是标量、向量或张量。 也就是说，它可以是多组分的。 对于一些重构强一阶相变，虽然高温相和低温相的对称群之间不存在群与子群之间的关系，但也可以定义适当的阶次参数，并将其纳入理论的框架中。
(3)统计模型：
大多数情况下，当温度低于临界温度时，内部相互作用是自发对称性破缺的主要原因。 由于内部相互作用抑制了热运动并产生与有序参数相关的内部场，该场反过来使整个系统趋于有序状态。
在相变点Tc附近，每个相都伴随着某些物理量的出现，这些物理量在原始相中不存在，这些物理量可以分为两类：微观参数和宏观参数。 微观参数可以是相变点附近原子位移或原子自旋方向的变化，也可以是在给定位置找到某个原子的概率的变化。 当然，宏观变量也可以描述物质状态性质的变化。
相变是由多粒子系统的内部相互作用引起的。 这本质上是一种合作行为。 为了理解这些协同相变的本质，必须使用比简单热力学理论更强大的理论工具来描述原子之间相互作用的细节。
通常使用磁学的语言，用自旋变量来写哈密顿量是最合适的，并且它也被验证在许多非磁系统中是合适的。 对于各种具有局部磁性的磁性物质，使用量：
这里Jij是交换能量，H是外部磁场。 如果采用最接近的近似，并且存在xyz直角坐标系，则可以表示为：
, 是伊辛模型；
，对于 XY 模型
在某些系统中，协同相互作用和局域晶体场效应的结合使自旋仅沿某一方向向上或向下取向，这意味着一维有序参数，即伊辛模型； 在其他系统中自旋只能在一个平面上旋转，表示二维序参量，对应这个XY模型； 还有一些磁系自旋不限于某一条直线或某一个平面，而是可以指向空间中的任意方向。 方面表示三维顺序参数，与情况相对应。 这些都是以从顺磁体到磁有序状态的原子平均磁矩矢量的出现为标志。
在二阶相变中，对于临界点附近的非常小的量二阶微商，自由能可以展开为阶次参数的表达式：
由于二阶相变中没有体积变化，因此省略体积变量。 （F中还有一个压力P没有写出来，仅以温度T为例）
第一项是高对称项的自由能，其值与是否发生相变无关。
系数a取决于P、T的变化。
系数a必须满足对称性要求，例如阶参数的正负性质（删除奇数阶项，保留偶数阶项）等。
对于高对称性相，T>Tc，阶次参数等于0，要求a2>0； 对于低对称性相位，阶次参数非零，a2<0。 因此，二次系数可以被认为是相变点附近温度的线性函数。 （仅当考虑温度时）：
如果T=Tc本身稳定，那么在其点，即序参数等于0时，自由能相对于序参数的二阶和三阶导数应等于0，四阶导数应等于0。应大于零。 为了满足上述要求，在Tc条件下，a2=0，a3=0二阶微商，a4>0。
要点：热力学函数在临界点的奇点来自于与阶次参数相关的部分，F0(T)（第一项）是光滑函数。
在一定温度下，序参数需要由最小自由能条件确定：
对于泰勒展开式的幂级数，不要使用大于4的幂级数（书中的例子），而取适当的表达式。 最后计算导数，得到阶次参数的解。 （推导过程自查及典型结果）
书中例子的结果类似：
(4)热力学量：
考虑二阶相变中熵的变化。
当T>Tc时，系统处于高度对称相位，序列参数为零，因此：
当 T<Tc 时，阶次参数不为零：
表明该过程中熵是连续的，相变至少是二阶的。
对于比热容：
对于高对称性相
对于低对称性相
Tc处有跳跃，跳跃量为：
(5) 考虑复杂的序列参数系统：
将 order 参数扩展到二维向量给出复数形式：
对于系统来说，当没有外场时，幅度和相位这两个量在空间上是均匀的。 根据朗道理论，膨胀自由能达到第四阶，即：
推导可得结果：
由此，可以得到阶次参数的变化。 当T>Tc时，给定幅度为零，相位可以任意改变，保持旋转对称性。 当T<Tc时，振幅不等于0，相位只取一定值，旋转对称性被破坏。
:
朗道理论是一种平均场理论，通过平均自由度来简化多体问题。
朗道理论的适用条件：金兹堡准则
朗道理论的适用性取决于波动的影响是否重要。
因此，可以用准则来判断是否满足近似：
当d>4时，应用平均场； 当d<4时，应考虑波动。
上式可以改写为TG相关表达式。 TG 是指波动变得重要的温度，称为金兹堡温度，定义为：
TG 测量波动变得显着的相应临界点区域的温度范围。 当温度远离Tc时，波动并不重要。 否则不能忽视。
3.朗道理论的推广：超导的金兹堡-朗道理论。
相关书籍：
[1]《热力学与统计物理》林宗翰
[2]《凝聚态物理》（第一卷）段峰
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