学而思夏银：透流水行船问题的两个基本公式
2023-10-02 16:07:10 來源: 微商品牌网
《学习与思考》夏寅改编自奥数网站《解释流水划船问题的十个问题》
流水问题是研究小船（有动力）在流水中的行程，因此也称为行水问题。 此类问题根据船舶数量可分为：①单船行程； ②两艘（或多艘）船遭遇并追击。
对于①类单船问题，解决问题的重点在于相对于地面观察者的“速度合成”。 此类问题的主要特点是水速在船舶逆行和前进运动中的作用不同。
对于②类型的两船问题，解决问题的关键是要明白“任何相对量与水速无关”。 这里的相对量包括速度总和、速度差、距离总和、距离差、相遇时间和追赶时间。
小学数学涉及的题目一般都是匀速运动问题。 速度可以很容易地组合（增加或减少）。
·流动问题有以下两个基本公式：
顺流速度=船速+水速（1）
逆流速度=船速-水速（2）
这里，沿水速度是指船舶沿水流航行时单位时间内行驶的距离； 船速是指船舶本身的速度船速减水速，即船舶在静水中单位时间行驶的距离； 水速是指单位时间内水所行进的距离。 流动的距离。 通常，水速小于船速。
式（1）表明，船舶顺流航行的速度等于静水中速度与水流速度之和。 这是因为即使船没有动力，由于水的浮力和水的冲击力，它也会沿着水流移动。 速度与水的速度相同（小学忽略加速过程）。 船一旦开始移动，就会通过“划船”来移动。 “水”（无论是木浆还是涡轮发动机）获得与流动的水的速度差（相对于水的速度），那么从地面来看，船的下游速度就是水的速度加上船的水速（即船速）之比。
式（2）表明，船逆流航行的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。 这是因为即使船没有动力，它也会由于水的浮力和水的冲击力而向后移动，速度与水相同（就像站在跑步机上一样）。 一旦船开始移动，它就会通过“划桨”向后移动，以获得相对于水的速度，与水流的方向相反。 所以从地面来看，船的逆流速度就是船的速度减去水的速度。
根据加法和减法互为逆运算的原理，由式（1）可得：
水速=顺流速度-船速（3）
船速=顺流速度-水流速度 (4)
由式（2）可得：
水速=船速-逆水流速度 (5)
船速=逆流速度+水速 (6)
也就是说，只要知道三者中的任意两个：船在静水中的速度、船的实际速度和水的速度，就可以求出第三个（知二求三） ）。
·计算顺流和逆流的船速和水速
如果已知某艘船的逆流速度和顺流速度，也可以计算出该船的速度和水流的速度。 因为顺流速度是船速与水速之和，逆流速度是船速与水速之差。 根据和差问题的算法可知：
顺流速度+逆流速度=（船速+水速）+（船速-水速）=船速×2
沿河速度-逆水速度=（船速+水速）-（船速-水速）=水速×2
于是我们得到了公式——
船速=（顺流速度+逆流速度）÷2（7）
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2（8）
【以下为①类单船问题的10个基本实例，了解前进和后退速度中船速与水速的关系】
*例1 一艘渔船在5小时内顺流行驶25公里。 水流的速度为每小时1公里。 这艘船在静水中的速度是多少？
解：该船沿水流的速度为：
25÷5=5（公里/小时）
因为“顺流速度=船速+水速”，所以这艘船在静水中的速度就是“顺流速度-水速”。
5-1=4（公里/小时）
综合公式：
25÷5-1=4（公里/小时）
答：这艘船在静水中每小时行驶 4 公里。
*例2 一艘渔船在静水中以每小时4公里的速度航行，在4小时内逆流航行12公里。 水流的速度是多少公里每小时？
解：该船在上游水中的速度为：
12÷4=3（公里/小时）
因为对水的速度=船的速度-水的速度，水的速度=船的速度-对水的速度，即：
4-3=1（公里/小时）
答：水流的流速为每小时1公里。
*例3 一艘船顺流时速20公里，逆流时速12公里。 船在静水中的速度和水流的速度是多少？
解：因为船在静水中的速度=（顺流速度+逆流速度）÷2，因此，船在静水中的速度为：
(20+12)÷2=16(公里/小时)
因为水流的速度=（顺流速度-逆水速度）÷2，所以水流的速度为：
(20-12)÷2=4(公里/小时)
简单回答一下。
*例4 一艘船在静水中以每小时18公里的速度行驶，水速为每小时2公里。 这艘船从A点逆流而上到B点需要15个小时。A点和B点之间的距离是多少公里？ 这艘船从 B 点返回 A 点需要多少小时？
解：该船逆流航行的速度为：
18-2=16（公里/小时）
A、B之间的距离为：
16×15=240（公里）
该船顺流航行的速度为：
18+2=20（公里/小时）
该船从 B 点返回 A 点所需时间为：
240÷20=12（小时）
简单回答一下。
*例5：船在静水中的速度为每小时15公里。 从上游A港到B港需要8个小时，已知水速为3公里每小时。 这艘船从 B 港返回 A 港需要多少小时？
解：该船沿水流的速度为：
15+3=18（公里/小时）
端口 A 和端口 B 之间的距离为：
18×8=144（公里）
该船逆水航行的速度为：
15-3=12（公里/小时）
该船从B港返回A港所需时间为：
144÷12=12（小时）
综合公式：
(15+3)×8÷(15-3)
=144÷12
=12（小时）
简单回答一下。
*示例6 A号码头和B号码头相距144公里。 摩托艇在静水中行驶速度为每小时20公里，水速为每小时4公里。 从A码头到B码头顺流需要多少小时，从B码头到A码头逆流需要多少小时？
解：沿水流行驶所需时间为：
144÷(20+4)=6(小时)
逆流而行的时间为：
144÷(20-4)=9(小时)
简单回答一下。
*例7 一条大河，河中部（主河道）水速为8公里每小时，沿岸水速为6公里每小时。 一艘船在河中央行驶6.5小时260公里。 船需要多少小时才能返回海岸原来的位置？ 解：这艘船顺流而下的速度为：
260÷6.5=40（公里/小时）
该船在静水中的速度为：
40-8=32（公里/小时）
该船沿海岸逆流行驶的速度为：
32-6=26（公里/小时）
这艘船沿着海岸回到原来的位置所需要的时间是：
260÷26=10（小时）
综合公式：
260÷（260÷6.5-8-6）
=260÷（40-8-6）
=260÷26
=10（小时）
简单回答一下。
*例8 一艘船在水中航行，当前速度为2500米/小时。 逆流行驶120公里需要24小时。 沿水流行驶150公里需要多少小时？
解：该船逆流航行的速度为：
÷24=5000（米/小时）
该船在静水中航行的速度为：
5000+2500=7500（米/小时）
该船顺流航行的速度为：
7500+2500=10000（米/小时）
顺流航行150公里所需时间为：
÷10000=15（小时）
综合公式：
÷(÷24+2500×2)
=÷(5000+5000)
=÷10000
=15（小时）
简单回答一下。
*例9 一艘船在208公里长的航道上航行。 顺流需要8小时，逆流需要13小时。 求船在静水中的速度和水流的速度。
解：该船顺流航行的速度为：
208÷8=26（公里/小时）
该船逆水航行的速度为：
208÷13=16（公里/小时）
根据公式船速=（顺流速度+逆流速度）÷2，可计算出船舶在静水中的速度为：
(26+16)÷2=21(公里/小时)
根据公式水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2，可计算出水流的速度为：
(26-16)÷2=5(公里/小时)
简单回答一下。
*例10 A、B两个航站楼相距180公里。 A船逆流全程需时18小时，B船逆流全程需15小时。 A船顺流行驶了10个小时。 B船顺流行驶需要多少小时？
解：A船逆流航行的速度为：
180÷18=10（公里/小时）
A船顺流航行的速度为：
180÷10=18（公里/小时）
根据水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2，求水流速度：
(18-10)÷2=4(公里/小时)
B船逆流航行的速度为：
180÷15=12（公里/小时）
B船顺流航行的速度为：
12+4×2=20（公里/小时）
B船顺流行驶所需时间为：
180÷20=9（小时）
综合公式：
180÷[180÷15+(180÷10-180÷18)÷2×3]
=180÷[12+（18-10）÷2×2]
=180÷[12+8]
=180÷20
=9（小时）
练习1、一艘油轮以每小时12公里的速度逆流行驶，7小时可到达B港。 从B港返回需要6小时。求船在静水中的速度和水流的速度？
分析：逆流行驶每小时12公里，7小时后到达B港。 A港与B港之间的距离可计算为：12×7=84（公里）。 回程沿水流行驶，需时6小时。 可以计算沿水流的速度。 为：84÷6=14（公里），前进速度-后退速度=2个水速，可求出水速（14-12）÷2=1（公里），故船的静水速度可被发现 。
解：(12×7÷6-12)÷2＝2÷2＝1(公里)
12+1=13（公里）
答：船在静水中的速度为每小时13公里，水流的速度为每小时1公里。
练习2、某船在静水中的速度为每小时15公里，河水的速度为每小时5公里。 该船往返A港和B港一个往返，总共需要6个小时。 A港和B港之间的航程是多少公里？
分析：
1、知道了船在静水中的速度和水流的速度，我们可以计算出船逆水流的速度：15-5 = 10（公里），顺水流的速度：15 + 5 = 20（公里）。
2、A、B口距离一定，往返时间比与速度成反比。 即速度比为10÷20=1:2，则时间比为2:1。
3、根据总往返时间6小时，可按比例计算每次往返所用时间。 逆流时间为6÷(2+1)×2=4（小时），然后根据速度乘以时间即可计算出距离。
解：（15-5）：（15+5）=1：2
6÷(2+1)×2＝6÷3×2＝4（小时）
(15-5)×4=10×4=40(公里)
答：A港和B港之间的航程为40公里。
练习 3. 一艘船从 A 点逆流航行到 B 点，每小时行驶 24 公里。 到达B点后，从B点返回A点，比逆流提前2.5小时到达。 据了解，水的速度为每小时3公里。 A 和 B 之间的距离是多少公里？
分析：如果逆流行驶每小时24公里，水流速度为每小时3公里，那么顺流行驶速度为每小时24+3×2=30（公里），比逆流提前2.5小时当前。 如果你逆流行驶那么多时间，你就可以多行驶30×2.5=75（公里）。 因为每小时可以多行驶 3×2=6（公里）船速减水速，所以只需几个小时即可多行驶 75 公里。 这是逆水行舟的时代。
解：24+3×2=30（公里）
24×[30×2.5÷（3×2）]＝24×[30×2.5÷6]＝24×12.5＝300（公里）
答：A地和B地之间的距离是300公里。
练习4.一艘船在A码头和B码头之间航行，顺流航行需要8小时，逆流航行需要10小时。 据了解，水流的速度为每小时3公里。 码头 A 和 B 之间的距离是多少？
分析：逆流航行8小时，比逆流航行8小时多行驶6×8=48（公里）。 而这48公里正是当前（10-8）小时所行驶的距离。 逆水流的速度可计算为4 8÷2=24（公里），即可求出距离。
解：3×2×8÷(10-8)＝3×2×8÷2＝24(公里)
24×10=240（公里）
答：A、B航站楼之间的距离为240公里。
方案2：假设两个桥墩之间的距离为“1”，每小时顺流行驶，每小时逆流行驶。 顺流比逆流快--，快了6公里。
3×2÷(-)＝6÷＝24 0（公里）
答：（略）
【以下问题是2型两船问题的练习，用于理解相对量与水速无关】
·在相对量计算中，水流速度被抵消。 下面是一个例子——
假设两艘船追上了水流（两艘船要么顺水流，要么都逆水流）
如果两艘船相遇（两艘船其中一艘必须顺流，另一艘逆流）
练习5.某条河流上有上下两个桥墩，相距120公里。 每天有两艘相同航速的客船A、B从上下码头同时、定时发车。 这一天，A船上有一个漂浮物掉落。该物体顺着水面漂下去。 5分钟后，距A船2公里。B船出发后多少小时预计会遇到漂浮物？
分析：从A船上掉落的漂浮物以“水速”的速度顺流而下。 A下水时的速度为“船速+水速”。 每分钟船与物体之间的距离为：（船速+水速）-水速=船速。 那么5分钟内相距2公里就是A的船速5÷60=（小时），2÷=24（公里）。 由于B船的航速与A船的航速相等，因此B船以24水速逆流行驶。 当B船遇到漂浮物时，发现相遇时间为120公里，除以双方速度之和（24-水速）+水速=24（公里）。
解：120÷[2÷(5÷60)]＝120÷24＝5（小时）
答：B船出发5小时后即可遇到漂浮物。
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